倒霉的红眼

『倒霉的红眼』

说一个岛上有100个人,其中有5个红眼睛,95个蓝眼睛。这个岛有三个奇怪的宗教规则。

  1. 他们不能照镜子,不能看自己眼睛的颜色。
  2. 他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。
  3. 一旦有人知道了自己是红眼睛,他就必须在当天夜里自杀。

某天,有个旅行者到了这个岛。由于不知道这里的规矩,所以他在和全岛人一起的时候,不留神就说了一句话:你们这里有红眼睛的人。 假设这个岛上的人足够聪明,每个人都可以做出缜密的逻辑推理。请问这个岛上将会发生什么?

《东方红魔乡》中的红眼大小姐 蕾米莉亚 同人图

这个有趣的推理问题的答案可能会让人出乎意料:5个红眼睛将在第5天夜里集体自杀

下面是证明过程:

假设有1个红眼睛,那么在他眼里看到的其他人都是蓝眼睛,当得知岛上有红眼睛时,那显然就是指的自己了,所以得知这一噩耗的他将会在当天晚上自杀。

假设有2个红眼睛,这两个人就有意思了,他们看到的都是一个红眼睛加上其他人的蓝眼睛。当得知岛上有红眼睛时,这两个人都在等着另一个红眼睛在第一天自杀,可遗憾的是,第一天晚上什么都没有发生。所以,这时候红1就会想,既然红2没有自杀,那么必然他眼中看到的不全是蓝眼睛(否则他应该按红眼个数为1时那样自杀),这说明自己就是红眼睛了;红2同样也经过这样一番推理,得出自己是红眼睛的结论。于是这两个人将会在第二天晚上一起自杀。

假设有3个红眼睛,和上面的情况类似,这三个人中的每一个人,都在等着其他两个红眼睛在第二天夜里自杀,于是第三天之前谁也没死。但第三天天亮红1一看,红2,红3都没死,那显然在他俩(红2、红3)眼里,除了他俩,其他人不全是蓝眼睛(否则他们应该按红眼个数为2时那样集体自杀),从而推得那个红眼睛就是自己。哥儿三个都这么一想,得了,夜里一块来吧。

……

于是可以看出,当红眼睛个数为N时,这N个红眼睛就将在第N天夜里自杀。

经过上面的解释,大家应该理解了那个貌似荒唐的结论。

 

不知大家是否会有这样的疑问:旅行者说的那句「岛上有红眼睛」,不是所有人开始就都知道吗,不是句废话吗?无非是红眼睛比蓝眼睛少看到一个红眼睛而已,为什么旅行者没说之前,他们不会自杀呢?

简单说,「岛上有红眼睛」这件事本来只是一项「共有知识」(Mutual knowledge),公开宣告使它变成了一项「公共知识」(Common knowledge)。

「共有知识」只需要满足一个条件:这群人中所有人都知道某事P,那么P就是这群人的共有知识。

「公共知识」则需要满足以下所有条件:

这群人中

1、所有人都知道P;

2、所有人都知道所有人都知道P;

3、所有人都知道所有人都知道所有人都知道P;

……

一直下去,直到无穷。要同时满足这无穷多个条件,才能说P是这群人的公共知识。

而旅行者的那句话,就是将「共有知识」变为了「公共知识」,从而惹下灾祸。

我们拿红眼睛数目为 2时进行简单分析,来区别这两者的不同,此时「岛上有红眼睛」这件事显然是一项「共有知识」,所有人都知道。但不是「公共知识」,在红1眼中,只有红2和其他的蓝眼,但红1此时并不知道自己眼睛的颜色,所以他自己虽然知道「岛上有红眼睛」,但并不知道红2知不知道「岛上有红眼睛」,所以第二层的条件没有满足,故不是「公共知识」。

 

参考链接:

  1. 陶哲轩博客中曾引述此题:The blue-eyed islanders puzzle https://terrytao.wordpress.com/2008/02/05/the-blue-eyed-islanders-puzzle/
  2. 知乎:到底是第 N 天有 N 个红眼睛自杀,还是什么都不会发生?http://www.zhihu.com/question/21262930

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