无穷个无穷小的乘积是无穷小吗?

『无穷个无穷小的乘积是无穷小吗?』

无穷小是分析学中的重要概念,在十七、十八世纪微积分诞生初期,数学家们对无穷小的观点各持己见,无穷小究竟是不是零?无穷小及其分析是否合理?由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论,造成了第二次数学危机。
我们现在都接受了无穷小「并非固定的量,而是变化的量」的观点,并建立在极限的基础上,这要得力于十九世纪阿贝尔、柯西、魏尔斯特拉斯等人的工作。
 

「无穷小的定义」

设\(\left \{ a_{n} \right \}\)是一个序列,若\(n\rightarrow \infty \)时有\(a_{n}\rightarrow 0 \),则称序列\(\left \{ a_{n} \right \}\)为无穷小。

并且我们还可以证明(证明方法可以参考同济版高等数学第六版第一章第五节):

有限个无穷小的乘积是无穷小。

那么问题来了,对于无穷个无穷小乘积,还是无穷小吗?答案是否定的!接受这样的事实似乎有些困难,既然有限个无穷小的乘积都已经为无穷小的话,天啦撸,难道无穷个乘积不应该更为无穷小吗??

 

请看下面的反例:
定义这样一组无穷小序列\(\left \{ a_{nk} \right \}\)

$$\displaystyle a_{nk}=\left\{\begin{matrix}1 &(n<k) \\ n*k^{k-1} &(n=k)\\ \frac{1}{n} &(n>k)\end{matrix}\right.$$

用矩阵表示为:

第一个无穷小序列$$\left \{ a_{n1} \right \}$$ 1 $$\displaystyle\frac{1}{2}$$ $$\displaystyle\frac{1}{3}$$ $$\displaystyle\frac{1}{4}$$ …… $$\displaystyle\frac{1}{k}$$ ……
第二个无穷小序列$$\left \{ a_{n2} \right \}$$ 1 $$\displaystyle2*2$$ $$\displaystyle\frac{1}{3}$$ $$\displaystyle\frac{1}{4}$$ …… $$\displaystyle\frac{1}{k}$$ ……
第三个无穷小序列$$\left \{ a_{n3} \right \}$$ 1 1 $$\displaystyle3*3^{2}$$ $$\displaystyle\frac{1}{4}$$ …… $$\displaystyle\frac{1}{k}$$ ……
…… …… …… …… …… …… …… ……
第k个无穷小序列$$\left \{ a_{nk} \right \}$$ 1 1 1 1 …… $$n*k^{k-1}$$ ……
…… …… …… …… …… …… …… ……

则有上述无穷个无穷小序列的乘积为:

$$\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty }a_{nk}=n$$

显然对于自然数序列的极限为\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }=\infty \),可见上述无穷个无穷小序列的乘积为无穷大。

 

 更一般的,如果我们定义\(\left \{ a_{nk} \right \}\)为

$$\displaystyle a_{nk}=\left\{\begin{matrix}1 &(n<k) \\ u_{k}*k^{k-1} &(n=k)\\ \frac{1}{n} &(n>k)\end{matrix}\right.$$

矩阵表示为:

第一个无穷小序列$$\left \{ a_{n1} \right \}$$ $$u_{1}$$ $$\displaystyle\frac{1}{2}$$ $$\displaystyle\frac{1}{3}$$ $$\displaystyle\frac{1}{4}$$ …… $$\displaystyle\frac{1}{k}$$ ……
第二个无穷小序列$$\left \{ a_{n2} \right \}$$ 1 $$\displaystyle u_{2}*2$$ $$\displaystyle\frac{1}{3}$$ $$\displaystyle\frac{1}{4}$$ …… $$\displaystyle\frac{1}{k}$$ ……
第三个无穷小序列$$\left \{ a_{n3} \right \}$$ 1 1 $$\displaystyle u_{3}*3^{2}$$ $$\displaystyle\frac{1}{4}$$ …… $$\displaystyle\frac{1}{k}$$ ……
…… …… …… …… …… …… …… ……
第k个无穷小序列$$\left \{ a_{nk} \right \}$$ 1 1 1 1 …… $$u_{n}*k^{k-1}$$ ……
…… …… …… …… …… …… …… ……

则此时的乘积为:

$$\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty }a_{nk}=u_{n}$$

即上述无穷个无穷小的乘积为\(u_{n}\),如果我们分别定义\(\displaystyle u_{n}=\frac{1}{n},u_{n}=1,u_{n}=n,u_{n}=(-1)^{n}\),那么就可以得到上述无穷个无穷小的乘积分别为无穷小,常数,无穷大和极限不存在。

所以说,在无穷小序列的定义中,从来不关心某个值的大小(或某部分值的大小),关心的是它是否趋于零。理解无穷小是变量的属性才是问题的关键。

 

最后,以下定理也都成立:

有限个无穷小的和是无穷小。

有限个无穷小的乘积是无穷小。

无穷个无穷小的和不一定是无穷小。

无穷个无穷小的乘积不一定是无穷小。

有限个无穷大的和不一定是无穷大。

有限个正(负)无穷大的和是正(负)无穷大。

有限个无穷大的乘积是无穷大。

无穷个无穷大的和不一定是无穷大。

无穷个无穷大的乘积不一定是无穷大。

 

参考:

  1. 同济大学出版社《高等数学》第六版,上册
  2. 北京大学出版社《数学分析》伍胜健,第一册
  3. 无穷小量https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E7%AA%AE%E5%B0%8F%E9%87%8F
  1. 第二次数学危机http://www.baike.com/wiki/%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8D%B1%E6%9C%BA
  1. 无穷多个无穷大量或无穷小母的积或和,黄重器

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