虫子爬绳

『虫子爬绳』

有一根神奇的绳子,初始时长度\(L=1000m\),它可以无限的伸长(均匀的伸长),伸长的速度\(v=1000m/s\),非常快;又正好有这么一只傻虫子,腿脚也不怎么灵便,爬起来的速度只有\(u=1cm/s\),但它非要从绳子的一端爬到绳子的另一端,反正我是劝不住,但它坚信自己能爬过去,那么问题来了,它能爬过去吗?↓↓↓

 

 

 

 

 

 

 

 

直观上感觉的话,似乎这只虫子永远也爬不到头,绳子伸长的速度是虫子速度的十万倍啊!

但转机就在绳子伸长的方式是均匀的,这就是说,傻虫子每爬一段距离后,考虑还没爬的那部分绳子,这一段的伸长速度在慢慢减少,但究竟能不能减少到零呢?好像心里也没谱,所以还是动笔算一算:

设虫子从\(A\)向\(B\)端爬行,与\(A\)端的距离记作\(S(t)\),显然\(S\)是时间\(t\)的函数。

\(S(t)\)的增加来自两个方面,一方面是虫子的速度\(u\),另一方面是绳子的伸长,而且影响\(S(t)\)增加的并不是全部的绳子,只是绳子的一部分。\(t\)时刻时绳子总长为\(L’=L+vt\),因此有\(t\)时刻\(S(t)\)的增加速度为:

$$\displaystyle s'(t)=u+\frac{s(t)}{L+vt}v$$

于是解此微分方程。

稍作变化有

$$\displaystyle u+\frac{sv}{L+vt}=\frac{ds}{dt}=\frac{d(sv)}{d(L+vt)}$$

即为一阶非齐次线性微分方程,解得

$$\displaystyle s(t)=\frac{uL}{v}(1+\frac{vt}{L})\ln (1+\frac{vt}{L})$$

当虫子爬到B端时,即\(\displaystyle s(t)=L’=L+vt\),代入上式

$$\displaystyle L+vt=\frac{uL}{v}(1+\frac{vt}{L})\ln (1+\frac{vt}{L})$$

$$\displaystyle t=\frac{L}{v}(e^{\frac{v}{u}}-1)$$

将\(L=1000m,v=1000m/s,u=1cm/s\)代入上式得到

\(t=e^{100000}-1(s)\approx 2.8\times 10^{43429}s\approx 8.9\times 10^{43421}\)年

这个时间简直久到无法想象,有多久呢,看下面这句话。

对于宇宙热寂说,宇宙寿终正寝(熵达到最大)的时间大概在\(10^{1000}\)年之后。

傻虫子要多准备点炫迈了。

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