赫斯缇雅你胳膊疼吗?

『赫斯缇雅你胳膊疼吗?』

近日《在地下城寻求邂逅是否搞错了什么》中的萝莉神赫斯缇雅人气非常的高,她的提胸丝带设计更是在4月脱颖而出。先po个官方配图:

赫斯缇雅 HESTIA
年龄 上亿岁
身高 140cm
隶属 【赫斯缇雅眷族】
种族
打工 摊贩「炸薯球」店员、铁匠铺「赫菲斯托丝」店员
喜欢的事物 贝尔、炸薯球、书、暖炉
简介 降临自天界的神仙,是超越人类、亚人的高级人物,也是贝尔隶屣的【赫斯缇雅眷族】之领导者。容貌、体格一如「萝莉神」之名娇小稚嫩,不过却同时拥有丰满的上围。视唯一的眷属贝尔为家人,甚至超过了家人,为了拜托神友赫菲斯托丝为贝尔打造武器而连续三天下跪请求,发挥了惊人毅力。除此之外,在感受到贝尔有生命危险时,也会以眷族之长的身分给予适切的建议等等,还算是有神仙的样子。

今天下午在哔哩哔哩弹幕网官微上看到一条关于赫斯缇雅的微博,具体内容我也不多说什么了,看图吧:

问题原图

你们把赫斯缇雅玩坏了,造吗??

刚开始我是拒绝的,示意图是什么鬼,看着就心疼好吗?

接着我仔细考虑了一下,好像这题也没有那么难……于是,我决定解答一下。

不过题目中很多条件没有给全,我在解答的过程中会引入一些合理的值(我定多少就是多少,不服来打我啊~)来得到最后答案。

题目中将人体简化为长方体和圆柱体,并假设人体被丝带接触的部位都不发生形变,这也使得题目极大的简化。题目大体是说,计算赫斯缇雅的双臂由自然撑开状态伸展到绳子(也就是丝带)紧绷状态时的受力情况。

我的思路大体是,先求出丝带伸长的长度,然后估计出丝带的弹性模量,从而得到丝带所受的拉力。

伸展前的丝带长度

好,我们先来计算丝带伸长长度。

再来看一下题设“双臂呈45°向外展开,此时丝带正好保持紧绷”,不过这里并没有说丝带处于什么样的位置状态,我们不妨假设双臂45°时,丝带整理呈水平。下图:

所以丝带的长度可以分为三个部分相加的结果,考虑到立体情形,有长度L为:

$$L=2a+4b+2c$$

其中:

         a为两个“软软的”之间的距离

         b为“软软的”端部到手臂中线的长度

         c为弯折的长度,此时c表示的曲线段是一半的椭圆

并做如下假设:胳膊在躯体上的转动中心为O1和O2点;O1和O2点与“软软的”下端的水平线的垂直距离为20cm;两个“软软的”在胸前的摆放间隔为2.5cm、5cm、2.5cm。

这样就有a=25cm,b=2.5+20=22.5cm,长度c的计算稍微复杂些,我们以左手臂为例:

显然当丝带呈水平位置时,丝带与手臂中心线夹角为45°,这时丝带所在的平面截取手臂,截面为一个椭圆。又因为身体和手臂的直径相等,所以b线段正好与手臂相切于手臂中线位置,下图:

一个半短轴为5cm半长轴为\(5\sqrt{2}\)cm的椭圆

由夹角45°很容易计算出椭圆的半长轴为\(5\sqrt{2}\)cm。
可见c的长度就是一半的椭圆周长,那么椭圆的周长怎么计算呢?
椭圆周长并没有初等表达式,可以使用积分计算:

$$\displaystyle C=\int_{0}^{5\sqrt{2}}\sqrt{1+\frac{2x^{2}}{25-x^{2}}}dx$$

等价为

$$\displaystyle C=5\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}}dt$$

费了半天劲,发现这个积分是积不出来的,查资料发现椭圆周长的计算需要用到第二类完全椭圆积分函数E,公式为:

$$\displaystyle C=4pE(e^{2})$$

其中p为椭圆半长轴,e为椭圆离心率,E(e)按下面公式计算:

$$\displaystyle E(e^{2})=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-e^{2}\sin ^{2}x}dx$$

E函数对应Matlab中ellipke函数,编程:

[K,E]=ellipke(0.5) %K为第一类椭圆积分,E为第二类椭圆积分
20*2^0.5*E %这里需要的是E

得到椭圆周长为38.2020cm(即2c的长度)
这样就得到了丝带的长度为:

$$ \begin{align*}L&=2a+4b+2c\\&=2*25+4*22.5+38.202\\&\approx 178.2cm\end{align*}$$

这就是伸展手臂之前丝带的长度了。

伸展后丝带的长度

下面计算手臂伸展之后丝带的长度,依题意伸展之后丝带的两侧与水平面呈30°夹角,我们这里假设在伸展的过程中丝带与手臂之间由于摩擦力的关系,没有发生相对移动,也就是说丝带还是勒在手臂的同一个位置。

于是伸展后的丝带长度可以按下式计算:

$$L’=2a’+4b’+2c’$$

a’的值没有变与a相同,仍为25cm

重点是计算b’的值,还是以左臂为例

 

b’即为AC的长度,可求出AB与BC的长度,相加得到。

因为AE的长度已知,为2.5cm,∠BAE=30°,所以BE容易得出
$$\displaystyle BE=5\sqrt{3}/6,AB=2BE=5\sqrt{3}/3$$

OE的长度为20cm,从而可以得到OB的长度$$OB=20-5\sqrt{3}/6$$

现在做CD垂直OB于点D,并设\(BD=x\),可以知道\(CD=\sqrt{3}x\),\(OD=20-5\sqrt{3}/6-x\),OC仍为\(20\sqrt{2}\)

在△OCD中,勾股定理可以得到:

$$OC^{2}=CD^{2}+OD^{2}$$

带入数值,计算得\(x\approx 16.28\),又有\(BC=2x\approx32.55\),而且$$\displaystyle \angle OCD=\arccos \frac{CD}{OC}\approx 4.625^{\circ}$$
可见,这时赫斯缇雅的手臂几乎是水平的。
还得到\(\angle OCB=\angle OCD+30^{\circ}\approx 34.625^{\circ}\),于是有$$b’=AB+BC\approx 35.44cm$$
有了之前的经验c’的长度也很好计算,把45°换成34.625°即可。计算得到$$c’\approx 22.09cm$$
最后有

$$ \begin{align*}L’&=2a’+4b’+2c’\\&=2*25+4*35.44+22.09\\&\approx 235.94cm\end{align*}$$

到这里伸展前后的丝带长度我们就都计算出来了。同时得到增长量$$\Delta L=L’-L=57.74cm$$。

拉力T的计算公式

为了计算丝带所受的拉力T,我们还需要一些关于丝带的物理力学性质。

由弹性模量公式得知:

$$\displaystyle E=\frac{stress}{strain}=\frac{\frac{T}{S}}{\frac{\Delta L}{L}}$$

其中:

stress应力;strain应变;T丝带所受拉力;E丝带的弹性模量;S丝带的有效横截面积;△L长度变化量;L初始长度

因为△L和L我们已经计算出来了,所以只要再知道E和S的数值,丝带受力T就可以解出来了。

弹性模量E的计算

下面我们先来求弹性模量E:

我翻阅了很多资料,都没找到有关于丝绸材料的弹性模量信息。最后发现在蔡再生编写的《纤维化学与物理》一书中,列举了常见纤维材料(包括丝绸在内)的另外一种描述弹性强度的参考值,即所谓的拉伸强度,单位是cN/tex,丝的拉伸强度值为39.69cN/tex。

这个单位的含义有必要解释一下:

cN表示的是厘牛,即牛的百分之一,$$1cN=10^{-2}N$$

tex特[克斯] 俗称号数, 是指纤维在公定回潮率下, 1000m 长度所具有的质量( 克)。因此$$1tex=10^{-6}kg/m=10^{-3}g/m$$

可见cN/tex的含义是单位线密度下材料可承受的拉伸受力值,也即每千米每克的纤维材料所能承受的拉伸受力值。

假如又知道纤维材料的密度值,即可算出每克材料的体积值,再比上千米,即为材料的横截面积。最后用拉伸强度值比上横截面积就可以得到材料的弹性模量了。

翻阅资料,可以得到丝的密度值为$$1.36g/cm^{3}$$

$$E=39.69cN/tex*1.36g/cm^{3}=539.8MPa$$

这个值和木质纤维的强度相当,在一定程度上说明了数值具有参考性。

得到弹性模量E之后,问题就剩下丝带的有效横截面积了。

有效截面面积S的计算

横截面积的计算需要知道丝带的厚度和宽度,两者相乘即得。宽度我们这里假设为1cm,而丝带的厚度我们不好做出直观估计。

首先要注意一点,丝带为纺织品,密实性不高,如果采用直接测量的方式,只能得到毛截面高度,毛截面高度包括丝线之间空气间隙的高度,会给结果带来很大误差,这是不可取的。(网上有人测量丝绸毛截面高度为0.12mm,此值可以作为下面计算的一个验证参考。)

继续查阅资料发现,一般在丝绢行业,描述丝娟厚度的时候使用的是姆米作为衡量标准。

姆米的定义是,织物宽1英寸,长25码,重2/3日钱为1姆米(1英寸=0.0254米,1码=0.9144米,1日钱=3.75克 )所以换算成公制:1姆米=2.5/0.58064=4.3056克/平方米。

而丝绸一般常见的厚度(单位姆米)在8-20姆米范围内,这里我们取一个中间值16姆米来计算。

用姆米数与丝的密度作比,即为一般意义上的丝的厚度(单位m)

$$\displaystyle H=\frac{16*4.3056g/m^{2}}{1.36g/cm^{3}}=5.065*10^{-5}m=0.051mm$$

这个数值即为丝带的净截面高度 ,大约为毛截面高度(0.12mm)的一半,可见丝线间隙大约占据了一半的空间。和常识没有冲突,此数值可以信赖。

于是有横截面积

$$S=0.051mm*1cm=5.1*10^{-7}m^{2}$$

最后结果

将E,S带入到下式

$$\begin{align*}T&=E*S*\frac{\Delta L}{L}\\&=539.8MPa*5.1*10^{-7}m^{2}*\frac{57.74cm}{178.2cm}\\&\approx 89.2N\end{align*}$$

所以最后结果是丝带所受拉力为89.2N,这个数值其实不算小,相当于抱起两只喵所用的力。

不过神族的赫斯缇雅,这点重量还是不在话下的吧。

至于最小静摩擦系数,那就简单了只需要

$$\displaystyle \mu \geq \frac{T_{horizontal}}{T_{perpendicular}}=\cot \theta =\cot 34.625^{\circ}\approx 1.4$$

即最小静摩擦系数为1.4,虽然日常生活中静摩擦系数大于1的情况比较少见,但也不是没有,比如橡皮与固体静摩擦系数范围就在1.0 ~4.0之间。造成摩擦系数较大的原因,是因为题目假设了手臂不发生形变,对于肉体来说,肯定会因为被丝带勒紧而产生直接阻力,这种情况下,阻止丝带滑动的力就无需完全由摩擦力提供,这样也就不需要这么大的最小静摩擦系数了。

至此本题就解答完毕了。

最后,来一张福利

参考

  1. 官网人设说明http://danmachi.com/character.html
  2. 函数的积分和椭圆的周长http://wenku.baidu.com/link?url=SRRCWS4b6Gyqwyp6SMiFZ2FrWGJwwRyO7mpSieCPlIhZg04z3M3DwyyU3wRCvgEqyJaKhmVbRP_OydWcZuliHFmNw8Dwzbh-g-3YYQwQ4QG
  3. 在地下城寻求邂逅是否搞错了什么3 特装版附录小册子http://www.lightnovel.cn/thread-754255-1-1.html
  4. 纤维的结构及主要化学性质纺织http://wenku.baidu.com/view/809459886529647d272852a7.html
  5. 《纤维化学与物理》蔡再生编,中国纺织出版社,2004.8
  6. 关于丝绸的点点滴滴http://blog.sina.com.cn/s/blog_596e38390100urfd.html
  7. 真丝面料的厚度测量http://www.goodsilk.cn/blog/881.html

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