陶哲轩在机场赶路想到的一个问题

『陶哲轩在机场赶路想到的一个问题』
如果看到这个题目,以为我要跟你科普一些飞机马上就要起飞,而你还在去往登机口路上飞奔时候的注意事项,那我只好满怀“歉意”的说一句:Bazinga!

哈哈,虽然没有温馨小贴士,但我下面要给大家分享的这个有趣的题目,说不定在你哪天赶飞机的时候,真的争取到几分钟时间呢!

我们知道,机场通道里面通常会设置几段水平扶梯,供需要休息或者赶时间的人使用,那么问题来了,如果正在赶路的你发现需要停下来系一下鞋带,是在平地上系还是在扶梯上系比较节省时间呢?又或者是你刚好有跑一小段路的力气,是在平地上跑还是在扶梯上跑能让你更快到达登机口呢?

问题描述

这个有趣的问题的提出者,正是大名鼎鼎的陶哲轩(Terence Tao),是他在一次乘坐国际航班前突然想到的。随后他便将这个问题放在了他的博客上(链接),引发了大量的回复讨论,我们先看下这个问题的具体描述:

你要从机场通道的一端到另一端(为了简化问题,假设通道是一条直线),通道由一段平地和一段自动扶梯组成,假设你走路为匀速运动,且速度为v,而自动扶梯以匀速u运行,这就是说当你站在自动扶梯上的时候,你前进的速度为v+u。为了能够以最短的时间通过通道,请回答下面三个问题:

1,如果你需要停下来一小段时间,比如系鞋带,那么应该在平地上还是在扶梯上停留呢?假设花费的时间相同。

2,如果你刚好有一股能量支持你跑起来,把速度提高到v’,那么你应该在平地上还是扶梯上奔跑呢?假设拥有的能量相同。

*3,如果考虑到狭义相对论,那上面两个问题的答案又是什么?

差点不会走路了

问题解答

 



问题1:设系鞋带的时间为t,那么有在平地上系鞋带花费的总时间$$T_{1}$$为:

$$\displaystyle T_{1}=t+\frac{a}{v}+\frac{b}{u+v}$$

而在扶梯上系鞋带花费的总时间T2为:

$$\displaystyle T_{2}=\frac{a}{v}+t+\frac{b-ut}{u+v}$$

显然$$T_{1}> T_{2}$$,所以应选择在扶梯上系鞋带。

问题2:因为能量是恒定的,假设跑步时发力均匀,由$$E=FS$$可以推得,无论在平地还是扶梯,这些能量提速,所持续的距离是相等的(当然在扶梯上时,是相对于扶梯而言的距离),我们假设这段距离为$$s$$,那么在平地上跑步话费的总时间$$T_{1}$$为:

$$\displaystyle T_{1}=\frac{s}{v’}+\frac{a-s}{v}+\frac{b}{u+v}$$

而在扶梯上跑步花费的总时间$$T_{2}$$为:

$$\displaystyle T_{2}=\frac{a}{v}+\frac{s}{v’}+\frac{b-s-\frac{s}{v’}u}{u+v}$$

于是有:

$$\displaystyle \Delta T=T_{2}-T_{1}=\frac{s}{v}-\frac{s-\frac{s}{v’}u}{u+v}$$

显然$$\Delta T > 0$$

所以应选择在平地上奔跑。

*问题3:在陶哲轩本人的回复中,对Q3进行了解释:只有在速度接近光速时,才会发生明显的差异,并给出了计算公式,结论仍然是Q1,Q2中的策略不变。有兴趣的可以在他博客中查看具体步骤,当然前提是,要翻墙!

一个直观的解释

在本题的所有评论中,Harald Hanche-Olsen给出了一个直观的解答,不需要任何计算就可以得到前两个问题的答案,让我们来看一下:

问题1:假设你和你的孪生兄弟一起通过通道(这里将扶梯和平地的顺序交换一下)。你踏上扶梯之后马上蹲下来系鞋带,而你的兄弟是在走上扶梯之前停下来系鞋带,完成之后马上踏上扶梯。显然你处于领先位置,并将提前进入平地步行,而你的兄弟在相同的步行速度下,无论如何也追不上你了。

问题2:同样假设你和你的笨蛋孪生兄弟一起过通道(不再交换顺序)。你一开始就奔跑,直到能量耗光,这时相对于你走路的兄弟,你将领先s米的距离。显然你将提前进入扶梯,这时他还在用步行,在他进入扶梯前的一段时间里,你们之间的距离将会继续拉大(大于s米)。然后他也坐上扶梯,并且开始奔跑,但直到他耗光所有能量,也只能和你缩短恰好s米的距离,终究还是抓不上你。

所以综上,系鞋带要在扶梯上,奔跑则要选在平地上。Harald的解释生动形象,又很容易理解,完全用想象就得到了问题的答案,简直兵不血刃啊!

如果你想快速的掌握这个结论,那么只需要记住一句话就可以了:速度越均匀,时间越短。

偶像陶哲轩

偶像的照片永远都是笑着的

9岁上大学,13岁拿国际数学奥林匹克竞赛金牌(迄今最年轻的金牌获奖者),24岁成为正教授,31岁拿菲尔兹奖(数学领域最负盛名的奖项)。

更是一个人同时做着八个数学方向,从调和分析到偏微分方程;从解析数论(这是陈景润的方向)到算术数论;无一不是数学发展中的热点。此外,他还从事工科方面的研究:照相机的压缩传感原理(调和分析在实际中的应用)。最近他又开始对几何感兴趣,不久前刚刚发表了一篇黎曼几何的论文。

反正我一直都是跪着介绍的,谁也别拉我起来。

参考

  1. Tao博客中的题目原文https://terrytao.wordpress.com/2008/12/09/an-airport-inspired-puzzle/
  2. 陶哲轩的数学题 http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=1081&highlight=%CC%D5%D5%DC%D0%F9
  3. 陶哲轩的数学题——结论与结束http://xbeta.info/puzzle-terrence-tao.htm